机械臂逆运动学：结构决定解的形状

同一个末端位姿，在不同机械臂上意味着不同的事：UR5e 有 8 支孤立解，Lite 6 也有 8 支，iiwa 14 的解集是一条连续的圆，而 Franka Panda 只能先给种子再迭代抛光。

这份展示用四台机械臂（UR5e、UFACTORY Lite 6、KUKA LBR iiwa 14、Franka Emika Panda）把这件事画出来。画面全部从 MuJoCo 里的真实模型离屏渲染，同一目标的定格、动画、徽章和数字来自同一次求解。看的时候只需要记住一件事：每张图里的琥珀色球加三根坐标轴，是同一个「目标位姿」标记——球说明位置到了，坐标轴说明姿态也到了。

1. 末端停着，手臂沿肘部圆走完一圈，迭代次数一直是 0

先看琥珀色的末端标记：它一动不动。再看手臂：它沿着那条蓝色的肘部圆走完一整圈，蓝色小段是随臂型角 $\psi$ 走动的刻度。左上角两个数在整个循环里都不变。

末端停着，手臂沿肘部圆走完一圈，迭代次数一直是 0。

2. 方法跟着结构走——能拆开就一次写完，拆不开就先写种子再补

先看这张图例，后面每张结构图都沿用同一套颜色和徽章：

再看每台腕部标出的那一段偏移，以及下面三行：几何条件、因此采用的解法、解集长什么样。UR5e 靠 J2–J4 三轴平行、Lite 6 靠腕三轴汇交，两条都是 Pieper 条件，各自把问题拆开；iiwa 肩腕两个球，解是一条圆；Panda 只满足肩那一个球，腕差着 0.088 m，所以只能先给种子再补。

UR 靠平行轴拆开，Lite 6 靠球腕拆开；iiwa 的腕也是球，但多了一维冗余，所以解是一条圆，不是有限个点。

3. 肩和腕都是球，末端位姿定了，剩下的自由就只是肘在这个圆上的位置

先找 $S$（肩心）和 $W$（腕心）两个红蓝小球，再看穿过它们的那条直线：肘只能落在垂直于这条直线、半径由两段臂长决定的那个圆上。$E(\psi)$ 就是肘点。

四格是同一个目标、四个不同的 $\psi$，每一格徽章都是 精确、迭代印成 0，残差印到 $10^{-15}\,\mathrm{m}$ 量级。它们是同一个连续圆上的四个采样，不是四段不同的运动。

关于采样和闭式：任意一个 $\psi$ 代进去都是精确解；把 $[0,2\pi)$ 切成网格只影响能不能正好找回某一个事先给定的位形，不影响精度。

上面封面那条循环就是这台、这个目标的同一次求解。

4. 六轴、有一组平行轴，所以解是数得清的几支

把 J2–J4 那三根平行轴收成平面三连杆：橙色三角形是现在这一支，紫色是它关于 $S$–$W$ 连线的镜像。余弦定理一步就把肘上、肘下两个三角形同时给出来。

这是这个目标真实存在的全部分支——八支，按真实解出的个数摆，没有凑数。每支的徽章都是 精确、迭代 0；名字里左中右分别是肘、肩、腕选了哪一侧。

下面这条是小字号的对照：同一个目标，阻尼最小二乘从六个随机初值出发，全都贴回上面已经列过的某一支，徽章是 收敛。主角仍是一次列全的那些分支。

六轴、有一组平行轴，所以解是数得清的几支，不存在末端不动还能继续摆的那一维。

5. 腕的三根轴交在一点上，位置由手臂决定，姿态由腕决定

三格是同一套画法下的腕部特写。Lite 6 的三根轴交在一个点（偏移 0），UR5e 的腕心到最后一轴约 0.10 m，Panda 约 0.088 m。橙色小段就是那段偏移的长度。

末端位姿定了以后，腕心 $p_w = p - d_6 R\hat z$ 落在前三个关节够得着的地方，姿态留给腕的三根轴。

同一个末端标记下，这个目标真实存在的八支都摆在这里，每支 精确、迭代 0。它是六轴，分支之间用并排，不做连续摆动。

腕的三根轴交在一点上，位置由手臂决定，姿态由腕决定，所以这些构型可以一次列全。

6. 腕差着一截，闭式几何负责落到正确分支旁边，剩下的交给阻尼迭代

左边是 iiwa 的腕：三轴交于一点，对应长度是 0。右边是 Panda 的腕：肩三轴仍交于一点，但腕心到最后一轴有一段台阶式的偏移，长度 0.088 m。这是两台唯一的差别。

半透明的手臂停在几何种子上，末端标记和种子的末端之间有一条肉眼可见的缝；实心手臂是抛光之后，末端与标记重合。

旁边这条很短的残差曲线只有抛光那几步，从「有缝」落进容差内。

这个目标找到的分支都硬切并排在这里。顶到关节限位的那两支留在画面里并标成 失败，让人看见「列出来」和「选哪一支」是两件事。

腕差着一截，位置和姿态拆不干净，闭式几何负责落到正确分支旁边，剩下的交给阻尼迭代。

7. 末端要走直线，就沿着这条直线逐点解；关节自己匀速插过去，末端是弯的

前面几节的末端标记是钉死的。这里反过来：标记要动，而且必须贴着一条直线。四台用同一套走法，运动过程中每一段都用上一点的关节解做热启动。

UR5e

Lite 6

iiwa 14

Panda

每格里橙色直线是要求的路径，浅蓝色是「同一起点终点、只在关节角之间匀速插值」走出来的一条弯线。画面上印的是末端到直线的距离和整段最大值，最大值停在这一步逆解的容差量级（四台分别是 $6\times10^{-16}$、$1\times10^{-6}$、$3\times10^{-13}$、$3\times10^{-9}\,\mathrm{m}$）。

这是 Lite 6 的错误示范：末端仍贴在直线上，但中途换了一支，手臂猛地翻过去。末端对了，这段运动不能用。

末端要走直线，就沿着这条直线逐点解；关节自己匀速插过去，末端是弯的。

8. 冗余补得了肩和腕的奇异，补不了肘被拉直

左边是同一个目标，但腕心几乎顶到最远：肘部圆半径 $\rho$ 收成一个点。右边是三条曲线，同一起点、同一目标。伪逆的步子被放大，转置停滞（末残差 $9\times10^{-3}$，标 失败），阻尼最小二乘的步子始终有界、落进容差（$8\times10^{-12}$）。左下角的小直方图说明：伸直是随机位形里 $\sigma_{\min}$ 变小的一个主要来源。

冗余补得了肩和腕的奇异，补不了肘被拉直；这时候靠的是阻尼，不是再换一个闭式公式。

9. 一张取舍表

• 结构允许拆开、又需要全部分支时，用闭式：UR5e、Lite 6、iiwa 走的就是这条路。
• 只要当前附近的一支时，用阻尼最小二乘：Panda 的抛光、以及任何一台的直线跟踪都是这么用的。
• 纯数值的成功率写在「初值个数」上（同一次实验，30 个随机目标，DLS）：

要整族解用几何，要附近一支用阻尼迭代，两者经常一起用。

10. 复现

模型来自 mujoco_menagerie 的四台机械臂 XML（universal_robots_ur5e、ufactory_lite6、kuka_iiwa_14、franka_emika_panda），几何常量全部从模型在 $q=0$ 处实测，没有手写连杆参数。原理推导与子问题分类整理在配套文档 docs/ik_survey.md 与 docs/solver_bench.md，文中用到的球腕解耦代数在逆运动学原理这篇笔记里完整展开。

在仓库根目录重新渲染上面所有画面：

python -m scripts.showcase.build        # 全部
python -m scripts.showcase.build 1 3 7  # 只做封面、iiwa、直线运动

渲染脚本在 scripts/showcase/：scene.py 负责离屏渲染与共用相机，style.py 负责字体 / 徽章 / 拼图，solvers.py 是统一求解入口，common.py 做结构分类与目标挑选，各 ex_*.py 对应一个展项。本站展示用的图表与短片由 scripts/sync_ik_showcase_media.py 从该目录同步而来。